Find the square root of the perfect square made by multiplying 6075 with a least positive integer.

বিস্তারিত সমাধান:

প্রথমে 6075 সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। একটি সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ (perfect square) করতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) জোড় (even) হতে হবে।

1. 6075 এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:

\(6075 \div 5 = 1215\)
\(1215 \div 5 = 243\)
\(243 \div 3 = 81\)
\(81 \div 3 = 27\)
\(27 \div 3 = 9\)
\(9 \div 3 = 3\)
\(3 \div 3 = 1\)

সুতরাং, \(6075 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 3^5 \times 5^2\)

2. ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নির্ণয়:

একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত জোড় হওয়া প্রয়োজন। এখানে, \(5^2\) এর ঘাত জোড় (2), কিন্তু \(3^5\) এর ঘাত বিজোড় (5)। এটিকে জোড় ঘাত \(3^6\) এ পরিণত করতে হলে, \(3^5\) কে আরও একটি 3 দ্বারা গুণ করতে হবে।

অতএব, 6075 কে পূর্ণবর্গ করতে হলে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাটি হবে 3।

3. পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি নির্ণয়:

নতুন পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হবে \(6075 \times 3 = 18225\)

4. পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয়:

\(\sqrt{18225}\)
আমরা জানি, \(18225 = 3^5 \times 5^2 \times 3 = 3^6 \times 5^2\)
এখন বর্গমূল নিলে: \(\sqrt{3^6 \times 5^2} = 3^{6/2} \times 5^{2/2} = 3^3 \times 5^1\)
\(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\)
\(27 \times 5 = 135\)

অতএব, নির্ণেয় বর্গমূল হলো 135।

💡 শর্টকাট টেকনিক (Option Test):

এই ধরনের সমস্যার ক্ষেত্রে, বিকল্পগুলি থেকে পরীক্ষা করে সঠিক উত্তরটি দ্রুত খুঁজে বের করা যেতে পারে।

1. প্রদত্ত বিকল্পগুলির বর্গ করুন।

    
• যদি বর্গমূল 115 হয়, তবে সংখ্যাটি হবে \(115^2 = 13225\)
    
• যদি বর্গমূল 135 হয়, তবে সংখ্যাটি হবে \(135^2 = 18225\)
    
• যদি বর্গমূল 155 হয়, তবে সংখ্যাটি হবে \(155^2 = 24025\)
    
• যদি বর্গমূল 160 হয়, তবে সংখ্যাটি হবে \(160^2 = 25600\)

2. এখন, এই বর্গ সংখ্যাগুলিকে মূল সংখ্যা 6075 দ্বারা ভাগ করে দেখুন কোনটি দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল একটি ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় যা 6075 কে পূর্ণবর্গ করতে পারে।

    
• \(13225 \div 6075 \approx 2.17\) (পূর্ণসংখ্যা নয়)
    
• \(18225 \div 6075 = 3\) (একটি পূর্ণসংখ্যা)
    
• \(24025 \div 6075 \approx 3.95\) (পূর্ণসংখ্যা নয়)
    
• \(25600 \div 6075 \approx 4.21\) (পূর্ণসংখ্যা নয়)

যখন ভাগফল 3 হয়, তখন আমরা জানি যে 6075 কে 3 দ্বারা গুণ করলেই এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যায় পরিণত হয়, কারণ \(6075 = 3^5 \times 5^2\)। এটিকে পূর্ণবর্গ করতে একটি 3 এর প্রয়োজন। সুতরাং, 135 সঠিক উত্তর।